Родился 7 февраля 1971 года в городе Москве в семье ученых геологов. Первоначальное образование получил в физико-математической школе. В 1988 году принял святое Крещение в Преображенском храме поселка Переделкино. По окончании школы в 1988 году поступил в Московский Государственный Университет имени Ломоносова, где обучался на физическом факультете. Будучи студентом МГУ, А. Куренков в 1990 году поступил в Православный Свято-Тихоновский богословский институт (ПСТБИ). В 1994 году успешно завершил обучение в МГУ по специальности геофизика и, одновременно, в Православном Свято-Тихоновском богословском институте, который окончил со степенью бакалавра богословия.

По направлению Высокопреосвященного Ювеналия (Пояркова), митрополита Крутицкого и Коломенского, А. Куренков продолжил обучение в Свято-Тихоновской духовной семинарии в США (Saint Tikhon's Orthodox Theological Seminary, USA) где прошел академический курс. В 1998 году     А. Куренков окончил семинарию в США с отличием и степенью магистра богословия. 

По возвращении из США 5 апреля 1998 года епископом Красногорским Саввой был рукоположен в сан диакона и нес послушание клирика Патриаршего подворья храмов в Зарядье города Москвы.

3 июня 2000 года диакон Алексей Куренков был хиротонисан во иерея архиепископом Белгородским и Старооскольским Иоанном (Поповым) назначен на должность проректора по учебной работе Белгородской Православной Духовной семинарии (с миссионерской направленностью), где также преподавал гомилетику, педагогику и литургическое богословие. Занимая должность проректора по учебной работе, отец Алексей Куренков проявлял незаурядный талант руководителя и педагога. С этого же года отец Алексей нес послушание штатного клирика Преображенского кафедрального собора города Белгорода.

С 2001 по 2004 годы занимается подготовкой и изданием официального журнала Миссионерского отдела РПЦ «Миссионерское обозрение». 

С 2005 года отец Алексей занимает должность доцента кафедры теологии в Белгородском Государственном Университете, преподает на социально-теологическом факультете. 

В 2008 году отец Алексей возведен в сан протоиерея.

В 2012 году протоиерей Алексей Куренков назначен настоятелем храма Почаевской иконы Божьей Матери в Белгороде.

С 2014 года обучается на социально-теологическом факультете Белгородского Государственного Университета, являясь соискателем на степень кандидата наук. 

22 октября 2015 года протоиерей Алексей Куренков был назначен ректором Белгородской Православной Духовной семинарии (с миссионерской направленностью).

Протоиерей Алексей имеет церковные награды: Патриаршую грамоту и медаль Святителя Иосафа I и II степени. Является автором и соавтором ряда работ и публикаций.